PROPOSICIONES EN MATEMATICA

LA LÓGICA

 “La Lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto”.

 Ejemplos:

· Todos los matemáticos utilizan sandalias

· Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista.

· Por lo tanto, todos los matemáticos son algebrista.

 La Lógica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en el contenido de un enunciado en particular. El tipo de expresiones que interesan a la lógica son aquellas cuyo contenido puede ser evaluado como falso o verdadero. A este tipo de expresiones se le denomina proposición, sentencia o enunciado.

Proposición

 “Una proposición se define como un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas”.

 Ejemplo:

· La Coca-Cola es una empresa transnacional…………………………………… verdadero.

· Todos los alumnos del ITESCAM son menores de edad…………………………….. Falso

· El grupo de ing. mecatrónica está iniciando el curso de matemáticas discretas.. verdadero

· Todos los alumnos del ITESCAM tiene coche del año………………………..….….. Falso

 La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio independiente de la proposición.

Expresiones que no son proposiciones 

Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones, las oraciones exclamativas, exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo, por lo tanto no son verdaderas ni falsas, así mismo las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor (a pesar de que afirman algo), no constituyen proposiciones, pues su veracidad o falsedad no puede ser establecida.

Ejemplo

Proposición	Porque no es una proposición
¡Viva la familia!	Exclamación o admiración
¿Está lloviendo?	Pregunta
Lávate la cara	Imperativa u orden
Pedro es muy malo	Juicio de valor
Debemos honrar a nuestros héroes	Exhortativa
Que tengas muy buen día	Desiderativa
Quizá llueva mañana	Dubitativa

En conclusión, para que una expresión sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos:

· Ser oración.

· Afirmar algo.

· Ser bien verdadera o bien falsa

Conectivos Lógicos (Términos de Enlace) “Son palabras y/o símbolos que enlazan proposiciones con el fin de construir un lenguajes (verbal o simbólico) más amplio”.

PROPOSICIÓN CON FORMA DISYUNTIVA O DISYUNCIÓN

 Una proposición Disyuntiva, es aquella que está formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos p y q, con el conectivo Lógico “o”. Se simboliza así: “V”, se escribe: p v q y se lee: “p o q”

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Son dos o más proposiciones de las cueles puedo elegir una o más de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente.

A continuación se presenta una tabla de los valores que puede tener la Disyunción Inclusiva:

p	q	p v q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan:

 “Para que te deje ir al antro el fin de semana debes cumplir una de estas dos condiciones: Traer 10 en tu examen de esta semana o lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el viernes”

El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en las siguientes proposiciones:

ü  p: Juan saca 10 en su examen semanal.

ü  q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes.

ü  p v q: Juan saca 10 en su examen semanal o lava el coche de su papá de lunes a viernes.

Debemos fijarnos que su papá le pidió cumplir con p o cumplir con q, significa que Juan puede cumplir con una sola de estas tareas para poder ir al antro.

Las posibles situaciones en las que Juan se podría caer para ir al antro son:

Situaciones	p	q	p  ν q
Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días.	V	V	V
Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no pudo lavar el coche todos los días.	V	F	V
Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días.	F	V	V
Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días.	F	F	F

Con esto podemos ver que para que Juan no vaya al antro, tanto p como q deben ser falsas. La disyunción inclusiva entre dos proposiciones es falsa solo si ambas proposiciones son falsas.

PROPOSICIÓN CONJUNCIONAL O CONJUNCIÓN

Una conjunción de proposiciones es verdadera si y sólo si cada una de ellas es verdadera. Basta que un solo término de la conjunción sea falso para que toda la conjunción sea falsa. En español, normalmente la conjunción se expresa por medio de la ’y’, de comas o de una combinación de estas, o palabras como ’pero’.

Se dice que una conjunción es verdadera solamente cuando cada una de las proposiciones que la conforman son verdaderas:

p	q	p Λ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Supongamos que un papá le dice a su hijo llamado Juan:

 “Para que te deje ir al antro el fin de semana debes traer 10 en tu examen de esta semana y lavarme el coche todos los días desde el lunes hasta el viernes”

Juan se encuentra ante las mismas dos situaciones anteriores, que reflejaremos en dos proposiciones:

ü  p: Juan saca 10 en su examen semanal.

ü  q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes.

Pero en este caso Juan debe cumplir con ambas proposiciones para poder ir al antro, ya que su papá utilizó la conjunción “y”:

Situaciones	p	q	p Λ q
Juan pudo sacar 10 en su examen y lavó el coche todos los días.	V	V	V
Juan pudo sacar 10 en su examen, pero no pudo lavar el coche todos los días.	V	F	F
Juan no pudo sacar 10 en su examen, pero lavó el coche todos los días.	F	V	F
Juan no pudo sacar 10 en su examen y tampoco lavó el coche todos los días.	F	F	F

Las posibilidades de que Juan vaya al antro se reducen.

PROPOSICIÓN CON FORMA DE NEGACIÓN

“La negación es una operación unitaria que se aplica a una proposición y tiene el efecto de revertir el valor de verdad”.

Se simboliza así: “¬” o con el símbolo “ ’ ”, se escribe: ¬ p y se lee: No p; negación de p; o, No es cierto que p, esto es, si p es verdadera entonces ¬p es falsa, y si p es falsa entonces ¬p es verdadera.

Una proposición de este tipo, puede estar formada por una proposición atómica o molecular a diferencia de los otros conectivos que afectan a mas de una, digamos p, con el conectivo Lógico “No”.

p	¬p
V	F
F	V

p: Juan va al antro;        ¬p: Juan no va al antro

O puede estar formado por una proposición compuesta.

p	q	P Λ q	¬(p Λ q)
V	V	V	F
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

TALLER

Analice las siguientes expresiones lingüísticas e indique si son o no proposiciones:

1)    La constitución política México fue declarada y promulgada por la asamblea constituyente en 1917 2.

2)     ¿Quién es el pez gordo del narcotráfico?

3)     Sea bienvenido.

4)    ¡Por fin llegó la primavera!

5)    Los números racionales son inteligentes.

6)    Que tengan ustedes un buen viaje.

7)    Solo sé que no sé nada.

8)    Juan es bondadoso.

9)    No digas mentiras.

10) Quizá existan miles de millones de universos.

11) Los organismos superiores tienen pulmones porque necesitan respirar.

12) x es la capital de México.

13) Los planetas del sistema solar a excepción de Plutón ocupan el mismo plano con respecto al sol.

14) El número 5 sonrió.

15)  Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo.